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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使
    BM
    =
    1
    3
    BC
    ，
    CN
    =
    1
    3
    CA
    ，
    AP
    =
    1
    3
    AB
    ，若
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    ，试用
    a
    ，
    b
    将
    MN
    ，
    NP
    ，
    PM
    表示出来．
    分析：由
    BM
    =
    1
    3
    BC
    得
    CM
    =
    2
    3
    CB
    ，根据向量减法法则，结合题中数据得
    MN
    =
    CN
    -
    CM
    =-
    1
    3
    AC
    -
    2
    3
    CB
    ，再由
    CB
    =
    AB
    -
    AC
    化简得
    MN
    =-
    2
    3
    a
    +
    1
    3
    b
    ．同理得到
    NP
    =
    1
    3
    a
    -
    2
    3
    b
    ，进而得到
    PM
    =-（
    MN
    +
    NP
    ）=
    1
    3
    a
    +
    1
    3
    b
    ．
    解答：解：∵
    BM
    =
    1
    3
    BC
    ，∴
    CM
    =
    2
    3
    CB

    由此可得，
    MN
    =
    CN
    -
    CM
    =-
    1
    3
    AC
    -
    2
    3
    CB

    ∵
    CB
    =
    AB
    -
    AC

    ∴
    MN
    =-
    1
    3
    AC
    -
    2
    3
    （
    AB
    -
    AC
    ）=
    1
    3
    AC
    -
    2
    3
    AB
    =-
    2
    3
    a
    +
    1
    3
    b
    ．
    同理可得
    NP
    =
    1
    3
    a
    -
    2
    3
    b
    ，
    PM
    =-
    MP
    =-（
    MN
    +
    NP
    ）=
    1
    3
    a
    +
    1
    3
    b
    ．
    点评：本题给出三角形ABC的边的三等分点M、N、P，要求用
    AB
    、
    AC
    表示
    MN
    ，
    NP
    ，
    PM
    ．着重考查了向量减法的三角形法则和向量的线性运算等知识，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是△ABC内一点，且
    AB
    •
    AC
    =2
    		3
    ，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(P)=(
    1
    2
    ，x，y)则
    1
    x
    +
    4
    y
    的最小值（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是△ABC中任意一点，且
    AB
    •
    MC
    =2
    		3
    +
    AB
    •
    MA
    ，∠BAC=30°    ，定义f（P）=（m，n，p），其中m、n、p分别表示△MBC、△MCA、△MAB的面积，若f(Q)=(
    1
    2
    ，x，y)    ，则在平面直坐标系中点（x，y）的轨迹是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知A、B分别是直线y=
    		3
    3
    x    和y=-
    		3
    3
    x    上的两个动点，线段AB的长为2
    		3
    ，P是AB的中点．
    （1）求动点P的轨迹C的方程；
    （2）过点Q（1，0）任意作直线l（与x轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于M、N，与y轴交于R点．若
    RM
    =λ
    MQ
    ，
    RN
    =μ
    NQ
    ，证明：λ+μ 为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•福建模拟）如图，l1、l2是两条互相垂直的异面直线，点P、C在直线l1上，点A、B在直线l2上，M、N分别是线段AB、AP的中点，且PC=AC=a，PA=
    		2
    a    ．
    （Ⅰ）证明：PC⊥平面ABC；
    （Ⅱ）设平面MNC与平面PBC所成的角为θ（0°＜θ≤90°）．现给出下列四个条件：
    ①CM=
    1
    2
    AB    ；②AB=
    		2
    a    ；③CM⊥AB；④BC⊥AC．
    请你从中再选择两个条件以确定cosθ的值，并求之．

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