Question

【题目】已知函数，其中

（Ⅰ）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（Ⅲ）若， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点;（3）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，利用导数的几何意义可得切线的斜率，结合切线与直线垂直，可求得的值；（Ⅱ）根据，令．对与分类讨论可得：（1）当时，此时，即可得出函数的单调性与极值的情况；（2）当时， ，①当时， ，②当时， ，即可得出函数的单调性与极值的情况；（3）当时， ，即可得出函数的单调性与极值的情况；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：（1）当时，可得函数在上单调性，即可判断出；（2）当时，由，可得，函数在上单调性，即可判断出；（3）当时，设，研究其单调性，即可判断.

试题解析：（Ⅰ）因为，由在处的切线与直线垂直，

可知，所以；

（Ⅱ）由题意知，函数的定义域为， ，

令， .

（i）当时， ，此时，函数在单调递增，无极值点；

（ii）当时，方程的判别式.

①当时， ， ， ，函数在单调递增，无极值点；

②当时， ，设方程的两根为， ，因为，

的对称轴方程为，所以， ，由，

可得 .

所以当时， ， ，函数单调递增；

当时， ， ，函数单调递减；

当时， ， ，函数单调递增.因此函数有两个极值点.

（iii）当时， ，由，可得，

当时， ， ，函数单调递增；

当时， ， ,函数单调递减，所以函数有一个极值点.

综上所述，当时，函数有一个极值点；

当时，函数无极值点；

当时，函数有两个极值点.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

①当时，函数在单调递增，因为，所以时， ，符合题意；

②当时， ，得，函数在上单调递增，又，所以时， ，符合题意；

③当时，设，因为时，所以 ，所以在上单调递增，所以，即，可得 ，而当时， ，即此时，不符合题意.

综上所述， 的取值范围是.