Question

已知数列{a_n}的前n项和为，且当n≥2时，S_nS_n-1-3S_n+2=0．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列的前n项和为T_n，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）本题可通过递推公式由首项a₁求出数列的第二项和第三项．
（Ⅱ）由，用b_n表示出S_n，然后代入S_nS_n-1-3S_n+2=0中，就可以求得数列{b_n}的递推式，通过构造即可求得其通项公式．
（Ⅲ）要证不等式成立，需先求出T_n，需要利用前面的结论求出的通项公式，然后通过放缩即可证明不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）∵当n≥2时，s_ns_n-1-3s_n+2=0，．
∴当n=2时，，解得．
则．
当n=3时，，解得，可得．

（Ⅱ）当n≥2时，s_ns_n-1-3s_n+2=0，由得，
于是，
化简，得b_n=2b_n-1-1，从而b_n-1=2（b_n-1-1），
∴{b_n-1}是以2为公比的等比数列．∴b_n-1=（b₁-1）•2^n-1=-2ⁿ⁺¹，b_n=-2ⁿ⁺¹+1．

（Ⅲ）由（2），得====．
∴≤．
从而，
点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，求数列的前n项和，在证明不等式时注意放缩法的应用．是中档题．