Question

已知f（x）=

ax+1

3x-1

，且方程f（x）=-4x+8有两个不同的正根，其中一根是另一根的3倍，记等差数列{a_n}、{b_n}  的前n项和分别为S_n，T_n且

Sn

Tn

=f(n)（n∈N₊）．
（1）若g（n）=

an

bn

，求g（n）的最大值；
（2）若a₁=

5

2

，数列{b_n}的公差为3，试问在数列{a_n} 与{b_n}中是否存在相等的项，若存在，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列{c_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．
（3）若a₁=

5

2

，数列{b_n}的公差为3，且d_n=b_n-（n-1），h（x）=

x

x+1

．试证明：h（d₁）•h（d₂）…h（d_n）＜

1

3n

．

Answer 1

分析：（1）a=4时，f（x）=

4x+1

3x-1

，从而有：

Sn

Tn

=f（n）=

4n+1

3n-1

，g（n）=

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

=

8n-3

6n-4

=

4

3

+

1

3(6n-4)

结合函数的性质即可得出g（n）的最大值．
（2）假若存在数列{a_n}中的第n项与数列{b_n}中的第m项相等，即4n-

3

2

=3m-2，进一步分析可得矛盾矛盾，即可得结论．
（3）根据题意得h（d_n）=

dn

dn+1

=

2n-1

2n

，要证h（d₁）•h（d₂）…h（d_n）＜

1

3n

即要证

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n

（直接用数学归纳法证明不出）只要证明

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n+1

（再用数学归纳法证明即可）．

解答：解：（1）a=4，f（x）=

4x+1

3x-1

，

Sn

Tn

=f（n）=

4n+1

3n-1

g（n）=

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

=

8n-3

6n-4

=

4

3

+

1

3(6n-4)

，
此函数是关于n的减函数，
当n=1时取得最大值，
故g（n）的最大值为g（1）=

5

2

．
（2）由（1）知

a1

b1

=

5

2

，

a2

b2

=

13

8

可得
a_n=4n-

3

2

，b_n=3n-2
令a_n=b_m，4n-

3

2

=3m-2可得：

1

2

=3m-4n∈Z，矛盾
所以在数列{a_n} 与{b_n}中不存在相等的项．
（3）证明：∵h（d_n）=

dn

dn+1

=

2n-1

2n

∴要证h（d₁）•h（d₂）…h（d_n）＜

1

3n

即要证

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n

（直接用数学归纳法证明不出）
只要证明

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n+1

（再用数学归纳法证明即可）
①当n=1时，

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n

显然成立，当n=2时，

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n+1

成立；
②假设当n=k（k≥2）时

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n+1

成立，
当n=k+1时，为了要证明：

1

2

×

3

4

×…×

2(k+1)-1

2(k+1)

＜

1

3k+4

成立
只要证：

1

3k+1

•

2k+1

2(k+1)

≤

1

3k+4

?3（2k+1）²≤（3k+1）[（2k+2）²-（2k+1）²]=（3k+1）（4k+3）
?12k²+12k+3≤12k²+13k+3?k≥0．
最后一个式子显然成立，从而得出n=k+1时也成立．
由①②可得n∈N⁺时，h（d₁）•h（d₂）…h（d_n）＜

1

3n

．

点评：本题主要考查数学归纳法与等差数列的有关性质，以及等差数列的通项公式、函数求最值等知识点，属于中档题．