Question

如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线y2=4

6

x的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．
（1）求椭圆C的方程．
（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（1）抛物线y2=4

6

x的焦点(

6

，0)，又椭圆C上有一点M（2，1），由此可求出椭圆方程．
（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线l：y=

1

2

x+m，由直线l与椭圆C交于A、B两点，可导出m的取值范围是{m|-2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K₁，K₂，K₁+K₂=0，然后结合题设条件和根与系数的关系知MA，MB与x轴始终围成等腰三角形，从而得到m的取值范围．

解答：解：（1）抛物线y2=4

6

x的焦点(

6

，0)，又椭圆C上有一点M（2，1）∴椭圆方程为，

x2

8

+

y2

2

=1
（2）l∥OM?kl=kOM=

1

2

，设直线在y轴上的截距为m，则直线l：y=

1

2

x+m
直线l与椭圆C交于A、B两点，

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

?x2+2mx+2m2-4=0?△=(2m)2-4(2m2-4)＞0
∴m的取值范围是{m|-2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K₁，K₂，∴K₁+K₂=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则K1=

y1-1

x1-2

，K2=

y2-1

x2-2

∵K1+K2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．∴m的取值范围是{m|-2＜m＜2且m≠0}

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．