Question

（2013•海淀区二模）若数列{a_n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}为周期数列，周期为T．已知数列{a_n}满足a₁=m（m＞0），a_n+1=

an-1，an＞1， 1 an ，0＜an≤1

则下列结论中错误的是（　　）

• A．若m=

  4

  5

  ，则a₅=3
• B．若a₃=2，则m可以取3个不同的值
• C．若m=

  2

  ，则数列{a_n}是周期为3的数列
• D．?m∈Q且m≥2，数列{a_n}是周期数列

Answer 1

分析：由给出的递推式，把选项A、B、C中的m及a₃分别代入递推式验证，可以判断选项A、B、C正确，由排除法可以断定不正确的选项是D．

解答：解：由a_n+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

，且a1=m=

4

5

＜1，
所以，a2=

1

a1

=

1

4 5

=

5

4

＞1，a3=a2-1=

5

4

-1=

1

4

＜1，
a4=

1

a3

=

1

1 4

=4＞1，a₅=a₄-1=4-1=3．
故选项A正确；
由a₃=2，若a₃=a₂-1=2，则a₂=3，若a₁-1=3，则a₁=4．
若

1

a1

=3，则a1=

1

3

．
由a₃=2，若a3=

1

a2

=2，则a2=

1

2

，若a1-1=

1

2

，则a1=

3

2

．
若

1

a1

=

1

2

，则a₁=2，不合题意．
所以，a₃=2时，m即a₁的不同取值由3个．
故选项B正确；
若a1=m=

2

＞1，则a2=a1-1=

2

-1＜1，
a3=

1

a2

=

1

2 -1

=

2

+1＞1，
所以a4=a3-1=

2

+1-1=

2

．
故在m=

2

时，数列{a_n}是周期为3的周期数列，选项C正确；
选项A、B、C均正确，不正确的选项即可排除A、B、C，由选择题的特点可知，不正确的选项是D．
故选D．

点评：本题考查了简单的合情推理，考查了分类讨论的数学思想，训练了学生的计算能力，是中档题．