Question

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为p，过点P（1，0）做斜率为k的直线l交抛物线于A，B两点，A点关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点；
（1）求p的值；
（2）求证：点Q是定点，并求出点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）设抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为1的点为M，则M（

1

2p

，1），利用抛物线的定义得出其到焦点的距离等于到准线的距离，列出关于p的方程求解即可；
（2）由（1）得：抛物线方程为：y²=2x，设过点P（1，0）做斜率为k的直线l的方程为：y=k（x-1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用直线的主程即可求得求出点Q的坐标，从而解决问题．

解答：解：（1）设抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为1的点为M，则M（

1

2p

，1），
其到焦点的距离等于到准线的距离，即

1

2p

+

p

2

=p，∴p=1．
（2）由（1）得：抛物线方程为：y²=2x，
设过点P（1，0）做斜率为k的直线l的方程为：y=k（x-1）代入抛物线方程得：
y²=2（1+

y

k

），即y²-2

y

k

-2=0，设点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
则y_Ay_B=-2，
A点关于x轴的对称点为C（x_A，-y_A），
直线BC的方程为：y-y_B=

y B+y A

x B-x A

（x-x_B），令y=0得：
x=x_B+

x B-x A

y B+y A

×（-y_B）=x_B+

y B 2 2p - y A 2 2p

y B+y A

×（-y_B）=x_B+

1

2p

×（-y_B²+y_Ay_B）
=

1

2p

×y_Ay_B
=-1，
即点Q是定点，点Q的坐标（-1，0）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的定义、轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．