Question

直线l经过点P（3，2）且与x轴正半轴及y轴正半轴分别交于点A、B．
（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
（2）已知直线m的方程为5x+y-1=0，在（1）的条件下，求直线l到直线 m的角θ的大小．

Answer 1

分析：（1）设出直线l的点斜式方程，写出面积的表达式，再由不等式得最值，即可得出直线l的方程．
（2）由（1）知直线l的斜率k=-

2

3

，直线m的方程为5x+y-1=0的斜率k′=-5，利用到角公式即可求出直线l到直线 m的角θ的大小．

解答：解：（1）设直线l的方程y-2=k（x-3），∴A(3-

2

k

，0)，B（0，2-3k）．
设△AOB面积为S，∴S=

1

2

ab=

1

2

(3-

2

k

)(2-3k)=

1

2

[12+(-9k-

4

k

)]．（4分）
∵直线l与x、y轴正半轴相交，∴k＜0．∴-9k＞0，-

4

k

＞0，
∴-9k-

4

k

≥2

(-9k)(- 4 k )

=2

36

=12（6分）
当且仅当-9k=-

4

k

，即k=-

2

3

时取“=”，即S有最小值，
∴所求直线方程为y-2=-

2

3

（x-3），即2x+3y-12=0  （8分）
（2）∵直线m：5x+y-1=0的斜率k′=-5，由（1）知直线l的斜率k=-

2

3

∴tanθ=

k′-k

1+k′k

=

-5-(- 2 3 )

1+(-5)•(- 2 3 )

=-1，又θ∈（0，π）故θ=

3

4

π  （12分）
注：第（1）问“截距式”及求最值的其它方法请参照给分．

点评：本题考查直线的一般式方程、直线方程的点斜式，利用基本不等式求面积的最小值或截距和的最小值，注意等号成立的条件需检验．