Question

若数列{a_n}满足

1

an+1

-

1

an

=d（n∈N^*，d为常数），则称数列{a_n}为调和数列，已知数列{

1

xn

}为调和数列，且x₁+x₂+…+x₂₀=200，则x₁+x₂₀=

20

；若x₅＞0，x₁₆＞0，则x₅•x₁₆的最大值为

100

．

Answer 1

分析：由题意知数列{x}是首相为x₁，公差为d₁的等差数列，则x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=x₁+x₁+d₁+x₁+2d₁+…+x₁+19d₁=20x₁+（1+19）×

19

2d1

=20d₁+190d₁=200，所求x5+x16=2x1+19d1=

200

10

=20．x₁+x₂₀=x₅+x₁₆=20．
x₅•x₁₆≤(

x5+x16

2

)2=(

20

2

)2=100．

解答：解：由题意知数列{a_n}的倒数成等差数列，则数列{

1

x

}的倒数成等差数列，
即x成等差数列，
所以设数列{x}是首相为x₁，公差为d₁的等差数列，
则x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=x₁+x₁+d₁+x₁+2d₁+…+x₁+19d₁
=20x₁+（1+19）×

19

2d1

=20d₁+190d₁=200，…①
所求x5+x16=2x1+19d1=

200

10

=20．
x₁+x₂₀=x₅+x₁₆=20．
x₅•x₁₆≤(

x5+x16

2

)2=(

20

2

)2=100．
故答案为：20，100．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．