Question

设数列{a_n}为等差数列，a_n＜a_n+1且前6项的平方和为70，立方和为0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为a_n，且与曲线y=x²相切，与y轴交于B_n，记b_n=|B_n+1B_n|，求b_n；
（3）对于（2）问中数列{b_n}求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意有，由于{a_n}为等差数列，得到：a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄化简得到：
解得首项和公差，从而得出{a_n}的通项公式；
（2）设l_n的方程为y=a_nx+m，将直线的方程代入圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合直线与曲线相切即可求得，从而求得求b_n解决问题．
（3）先利用|sinb₁+sinb₂+…+sinb_n|===，再结合三角函数的性质即可证得结论．
解答：解：（1）依题意有
∵{a_n}为等差数列，∴a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄
若a₁+a₆＞0，则a₁³+a₆³=（a₁+a₆）（a₁²+a₁a₆+a₆²）＞0
∴a₁³+a₂³+…+a₆³＞0同理，若a₁+a₆＜0，则a₁³+a₂³+…+a₆³＜0
∴a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄=0⇒a₁²+a₂²+…+a₆²=2（a₁²+a₂²+a₃²）=70
设{a_n}的公差为d，a_n＜a_n+1
∴d＞0

得∴a_n=2n-7
（2）设l_n的方程为y=a_nx+m由得x²-a_nx-m=0
∵直线与曲线相切∴△=0
∴；
（3）|sinb₁+sinb₂+…+sinb_n|=
=
=
∵cos5＞0，
∴
∴
点评：本小题主要考查等差数列的通项公式、数列与不等式的综合、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．