Question

若把满足二元二次不等式（组）的平面区域叫做二次平面域.

    （1）画出9x²-16y²+144≤0对应的二次平面域；

    （2）求x²+y²的最小值；

    （3）求的取值范围.

   

Answer 1

思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x²-16y²+144≤0所表示的平面区域.

    解：(1)将原点坐标代入9x²-16y²+144，其值为144＞0，因此9x²-16y²+144≤0表示的平面区域如图所示的阴影部分，即双曲线-=1的含有焦点的区域.

     (2)设P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P与双曲线的顶点(0，±4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x²+y²=|OP|²=16.

     (3)取Q(2，0)，则直线PQ的斜率为k=，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x²-16y²+144=0得(9-16k²)x²+64k²x-64k²+144=0，由Δ=0得k=±，由图可知k≥或k≤-.

    故所求的取值范围是(-∞，- ］∪［，+∞).