Question

（湖南卷理20）若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x₀>2.

（I）证明：点P（x₀,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(II) 试问：点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由.

Answer 1

解: （I）设AB为点P（x₀,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,则y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）.因为x₁x₂,所以y₁+y₂0.

设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x_m, y_m）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为

又点P（x₀,0）在直线上，所以

而于是故点P（x₀,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x₀-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，

整理得     （·）

则是方程（·）的两个实根，且

设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

   

因为0<<4x_m=4(x_m-2) =4x₀-8,于是设t=,则t(0,4x₀-8).

记l²=g(t)=-[t-2(x₀-3)]²+4(x₀-1)^2.

若x₀>3,则2(x₀-3) (0, 4x₀-8),所以当t=2(x₀-3),即=2(x₀-3)时, l有最大值2(x₀-1).

若2<x₀<3,则2(x₀-3)0,g(t)在区间（0，4 x₀-8）上是减函数，

所以0<l²<16(x₀-2),l不存在最大值.

综上所述，当x₀>3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值

为2（x₀-1）；当2< x₀3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.