Question

已知椭圆C的方程为左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或.

解析试题分析：（Ⅰ）在 中,设,,由余弦定理得，
即，即，得.
又因为，，，
又因为所以，
所以所求椭圆的方程为.                    
（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设直线方程为，，
由得，即，
，，
由得，，又，，
则，，
，
那么，
则直线过定点.                
因为，，
，
，，
，所以或.  
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用