Question

体积为288π的球内有一个内接正三棱锥P-ABC，球心恰好在底面正△ABC内，一个动点从P点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程为

14π

．

Answer 1

分析：由题意，如图，一个动点从P点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程是经过A，到B再到C，由C返回到P，故求出此四点间的球面距离的和即得所求答案，由图及题意可知球心角∠AOP=∠POC=90°，∠AOB=∠BOC=120°，由球体积是288π计算出球的半径，再由弧长公式求出四段弧长，即可求得答案

解答：解：由题意，可做出此球的内接正三棱锥，如图O是球心OA=OB=OC=OP=r
由图，动点P点出发沿球面运动，经过A，到B再到C，由C返回到P，故求出此四点间的球面距离的和即为所经过的最短路程
由题意，球心角∠AOP=∠POC=90°，∠AOB=∠BOC=120°
又球的体积是288π，即有

4πr3

3

=288π，解得r=6
经过的最短路程是（

π

2

+

π

2

+

2π

3

+

2π

3

）×6=14π
故答案为14π

点评：本题考查多面体与旋转体表面上的最短距离，球的体积公式，弧长公式，解题的关键是理解此小球的运动过程，得出小球经过的最短距离是四段弧的长度和，本题考查了空间想像能力及由图形进行计算的能力，考查了数形结合的思想