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    如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似．已知椭圆C与椭圆相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线的焦点．

    (Ⅰ)试求椭圆C的标准方程；

    (Ⅱ)设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l∶y＝kx＋t(k≠0，t≠0)与椭圆C交于A，B两点，且与椭圆E交于H，K两点．若线段AB与线段HK的中点重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断．

    答案：
    解析：

    　　解析：(Ⅰ)椭圆的离心率为　1分

    　　抛物线的焦点为．　2分

    　　设椭圆的方程为，

    　　由题意，得：　，解得，

    　　∴椭圆的标准方程为 ．　5分

    　　(Ⅱ)解法一：椭圆与椭圆是相似椭圆．　6分

    　　联立椭圆和直线的方程，，消去，

    　　得，　7分

    　　设的横坐标分别为，则．　8分

    　　设椭圆的方程为，　9分

    　　联立方程组，消去，得，

    　　设的横坐标分别为，则．　10分

    　　∵弦的中点与弦的中点重合，　11分

    　　∴，，

    　　∵，∴化简得，　11分

    　　求得椭圆的离心率，　12分

    　　∴椭圆与椭圆是相似椭圆．

    　　解法二：设椭圆的方程为，

    　　并设．

    　　∵在椭圆上，

    　　∴且，两式相减变恒等变形得．　7分

    　　由在椭圆上，仿前述方法可得．　10分

    　　∵弦的中点与弦的中点重合，

    　　∴，　12分

    　　求得椭圆的离心率，　10分

    　　∴椭圆与椭圆是相似椭圆．


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    椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左焦点为F1（-c，0），点A（-a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，如果F1到直线AB的距离为
    b
    		7
    ，则椭圆的离心率e=
    1
    2
    1
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•泉州模拟）如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似．已知椭圆C与椭圆Γ：
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线y=
    1
    4
    x2    的焦点．
    （Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与椭圆C交于A，B两点，且与椭圆E交于H，K两点．若线段AB与线段HK的中点重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年甘肃省高三上学期期末考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分12分）

    如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.

    （Ⅰ）试求椭圆的标准方程；

    （Ⅱ）设椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线与椭圆交于两点，且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年福建省泉州市高三第二次质量检测数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似．已知椭圆C与椭圆相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线的焦点．
    （Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与椭圆C交于A，B两点，且与椭圆E交于H，K两点．若线段AB与线段HK的中点重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断．

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