Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P在平面ABCD上的射影为G，且G在AD上，且AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为

8

3

．
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角余弦值；
（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；
（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求

PF

FC

的值．

Answer 1

分析：（1）先利用等体积法求出PG的长，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连接PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角，在△PCH中利用余弦定理求出此角即可；
（2）在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG，DK的长就是点D到平面PBG的距离，在△DKG利用边角关系求出DK长；
（3）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连接MF，先证明FM∥PG，然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可．

解答：解：（I）由已知VP-BGC=

1

3

S△BCG•PG=

1

3

•

1

2

BG•GC•PG=

8

3

，
∴PG=4．
在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连接PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．
在△PCH中，CH=

2

，PC=

20

，PH=

18

，
由余弦定理得，cos∠PCH=

10

10

，
∴异面直线GE与PC所成的角的余弦值为

10

10

．

（II）∵PG⊥平面ABCD，PG?平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD，
在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离．
∵BC=2

2

∴GD=

3

4

AD=

3

4

BC=

3

2

2

．
在△DKG，DK=DGsin45°=

3

2

，∴点D到平面PBG的距离为

3

2

．

（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连接MF，
又因为DF⊥GC，
∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM．
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM∥PG；
由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=

3

2

．
∵

PF

FC

=

GM

MC

=

3 2

1 2

=3，∴由DF⊥GC可得

PF

FC

=3，
∴

3

3

x=

d

3

x2+3

，解得d=

3 x

3+x2

∈（0，

3

）．

点评：本题主要考查四棱锥的有关知识，以及求异面直线所成角的问题，以及分析问题与解决问题的能力．简单几何体是立体几何解答题的主要载体，特别是棱柱和棱锥．