Question

设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）设b_n=2ⁿf（n），S_n为{b_n}的前n项和，求S_n；
（3）记Tn=

f(n)f(n+1)

2n

，若对于一切正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）据可行域，求出当x=1，x=2时，可行域中的整数点，分别求出f（1），f（2），f（n）．
（2）由于数列的通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减的方法求出数列的和．
（3）求出

Tn+1

Tn

，据它的符号判断出T_n的单调性，求出T_n的最大值，令m大于等于最大值即可．

解答：解：画出

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

的可行域

（1）f（1）=2+1=3
f（2）=3+2+1=6
当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时，y=n，可取格点n个
∴f（n）=3n
（2）由题意知：b_n=3n•2ⁿ
S_n=3•2¹+6•2²+9•2³+…+3（n-1）•2^n-1+3n•2ⁿ
∴2S_n=3•2²+6•2³+…+3（n-1）•2ⁿ+3n•2ⁿ⁺¹
∴-S_n=3•2¹+3•2²+3•2³+…3•2ⁿ-3n•2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹
=3•

2-2n+1

1-2

-3n2n+1
=3（2ⁿ⁺¹-2）-3nⁿ⁺¹
∴-S_n=（3-3n）2ⁿ⁺¹-6
S_n=6+（3n-3）2ⁿ⁺¹
（3）Tn=

f(n)f(n+1)

2n

=

3n(3n+3)

2n

∵ Tn+1 Tn = (3n+3)(3n+6) 2n+1 3n(3n+3) 2n = n+2 2n 当n=1时， n+2 2n ＞1 当n=2时， n+2 2n =1 当n≥3时， n+2 2n ＜1

∴T₁＜T₂=T₃＞T₄＞…＞T_n
故T_n的最大值是T₂=T₃=

27

2

∴m≥

27

2

．

点评：求数列的前n项和，先求出数列的通项，据数列通项的特点，选择合适的求和方法；解决数列的单调性问题只能通过判断相邻项的差的符号或相邻项的比与1的大小．