Question

已知函数.
（Ⅰ）若函数为偶函数，求的值；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间；
（Ⅲ）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2），；（3）.

试题分析：（1）据偶函数定义,得到,平方后可根据对应系数相等得到的值,也可将上式两边平方得恒成立,得的值；（2）当时，作出函数的图像，即可得到函数的单调递增区间；（3）先将不等式转化为，然后利用零点分段法（三段：（））去掉绝对值,在每段上分别求解不等式的恒成立问题，可得出各段不等式恒成立时参数的取值范围，注意在后一段时可考虑结合前一段的参数的取值范围进行求解，避免不必要的分类，最后对三段求出的的取值范围取交集可得参数的取值范围.
试题解析：(1)解法一：任取，则恒成立
即恒成立          3分
∴恒成立，两边平方得：
∴                      5分
(1)解法二(特殊值法)：因为函数为偶函数，所以，得，得：      （酌情给分）
(2)若，则      8分
作出函数的图像

由函数的图像可知，函数的单调递增区间为及      10分
(3)不等式化为
即：      (*)对任意的恒成立
因为，所以分如下情况讨论：
①时，不等式(*)化为
即对任意的恒成立，
因为函数在区间上单调递增，则只需即可，得，又
∴           12分
②时，不等式(*)化为，
即对任意的恒成立，
由①，，知：函数在区间上单调递减，则只需即可，即，得或
因为所以，由①得           14分
③时，不等式(*)化为
即对任意的恒成立，
因为函数在区间上单调递增，则只需即可，
即，得或，由②得
综上所述得，的取值范围是           16分.