Question

【题目】已知数列满足：，，且(n=1,2,...)．记
集合．
（1）（Ⅰ）若，写出集合M的所有元素；
（2）（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（3）（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

{6,12,24}

（2）

证明：（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设 ak 是3的倍数，由已知 ，可用用数学归纳法证明对任意 n ≥ k ， an 是3的倍数，当 k = 1 时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果 k > 1 时，因为 ak = 2ak-1 或 2ak-1 -36 ，所以 2ak-1 是3的倍数，于是 ak-1 是3的倍数，类似可得， ak -2 . . . . . . a1 都是3的倍数，从而对任意 n ≥ 1 ， an 是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.

（3）

8

【解析】（Ⅰ）由已知可知：，因此。
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.
（III ）由于M中的元素都不超过36，由,易得，类似可得,其次M中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二哥数必定为偶数，由的定义可知，第三个数后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数，由定义可知，和除以9的余数一样，
（1）若中有3的倍数，由（2）知：所有都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为3，6，3，6，......，或6，3，6，3......，或0，0，0......，而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项。
（2）若中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，......，不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数（不大于36），只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多的8项，则时，,项数为8，所以集合M的元素个数的最大值为8.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数学归纳法的步骤的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握

1. 步骤:A.命题在n=1（或）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=,且)结论都成立

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