Question

（14分）如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=a．

   （Ⅰ）求证：直线A₁D⊥B₁C₁；

   （Ⅱ）求点D到平面ACC₁的距离；

   （Ⅲ）判断A₁B与平面ADC的位置关系，

 并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，

又A₁A⊥底面ABC，∴A₁D⊥BC ，∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁．

 证法二：连结A₁C₁，则A₁C=A₁B．  ∵点D是正△A₁CB的底边中BC的中点，

        ∴A₁D⊥BC ，∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁．（4分）

（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E， ∵平面ACC₁⊥平面ABC，

∴DE⊥平面ACC₁于E，即DE的长为点D到平面ACC₁的 距离．  在Rt△ADC中，

AC=2CD=

∴所求的距离（9分）

解法二：设点D到平面ACC₁的距离为，

∵体积 

即点D到平面ACC₁的距离为．（9分）

   （Ⅲ）答：直线A₁B//平面ADC₁，证明如下：

证法一：如图1，连结A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A₁B，

      又DF 平面ADC₁，A₁B平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁． （14分）

证法二：如图2,取C₁B₁的中点D₁，则AD∥A₁D₁，C₁D∥D₁B，

∴AD∥平面A₁D₁B，且C₁D∥平面A₁D₁B，

∴平面ADC₁∥平面A₁D₁B，∵A₁B平面A₁D₁B，∴A₁B∥平面ADC₁． （14分）