Question

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，其中x∈[

π

6

，

π

2

]，设函数f(x)=

a

•

b

+|

b

|2+

3

2

．
（1）求函数f（x）的值域；        
（2）若f（x）=5，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积的坐标表示二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f（x）=5sin(2x+

π

6

)+5，由x∈[

π

6

，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]．结合正弦函数的性质可求
（2）由题意可得sin(2x+

π

6

)+5=5，即sin(2x+

π

6

)=0．结合2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]可求

解答：解：（1）f（x）=5

3

cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x+

3

2

=

5 3

2

sin2x+5•

cos2x+1

2

+

5

2

=5sin(2x+

π

6

)+5．…（3分）
∵x∈[

π

6

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]．
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，故f（x）的值域为[

5

2

，10]．…（5分）
（2）若f（x）=5，则sin(2x+

π

6

)+5=5，即sin(2x+

π

6

)=0．
∵2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，∴2x+

π

6

=π⇒x=

5π

12

．…（10分）

点评：本题以向量的数量积额坐标表示为切入点，主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，考查了三角函数的性质的应用．