Question

【题目】设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1 ， x2∈[﹣2，+∞），x1≠x2 ， 不等式 ＞0恒成立，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣4]∪{0}
【解析】解：由题意知，对于任意的x1 ， x2∈[﹣2，+∞），x1≠x2 ，
不等式 ＞0恒成立，
∴f（x）=x|x﹣a|在[﹣2，+∞）上单调递增．
（1）当a≤﹣2时，
若x∈[﹣2，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x= ，
此时 ≤﹣2，所以f（x）在[﹣2，+∞）上是递增的；
即a≤﹣4时满足题意；
（2）当a＞﹣2且a≠0时，
①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x= ，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；
②若x∈[﹣2，a），则f（x）=x（a﹣x）=﹣x2+ax，其对称轴为x= ，所以f（x）在[ ，a）上是递减的，
因此f（x）在[﹣2，a）上必有递减区间．
故可知当a＞﹣2且a≠0时不成立，故舍去；
（3）当a=0时，可知函数为f（x）=x|x|= ，
由二次函数的性质可知，符合题意单调递增的要求，故成立
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪{0}．