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    设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{an}（n∈N*）满足a1=2，（an+1-an）•g（an-1）+f（an-1）=0，记bn=
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    (n+1)(an-1)    ．（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；
    （Ⅱ）当n为何值时，bn取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Sn．
    分析：（I）求出g（an-1），f（an-1）将它们代入已知等式得到关于an的等式，判断出各项都不是1，将其变形得到
    8（an+1-1）=7（an-1），利用等差数列的定义得到证明．
    （II）作出数列{bn}终相邻两项的商，通过讨论n判断出商与1的大小，即得到数列的单调性，进一步得到bn取最大值时n的值．
    （III）由于数列{bn}的通项特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减的方法求出数列的前n项和．
    解答：解：（Ⅰ）由已知，得（an+1-an）•8（an-1）+（an-1）2=0．
    即（an-1）（8an+1-7an-1）=0．                
    ∵a1=2≠1，∴a2≠1，同理a3≠1，…，an≠1．
    ∴8an+1=7an+1．                          
    即8（an+1-1）=7（an-1），
    ∴数列{an-1}是以a1-1=1为首项，
    7
    8
    为公比的等比数列．  
    （Ⅱ）由（1），得an-1=(
    7
    8
    )n-1    ．
    ∴bn=(n+1)•(
    7
    8
    )n    ．                 
    则bn+1=(n+2)•(
    7
    8
    )n+1    ．
    ∵
    bn+1
    bn
    =
    n+2
    n+1
    •
    7
    8
    ，设
    bn+1
    bn
    ≥1，则n≤6．
    因此，当n＜6时，bn＜bn+1；当n=6时，b6=b7，当n＞6时，bn＞bn+1．
    ∴当n=6或7时，bn取得最大值．                        
    （Ⅲ）Sn=2•
    7
    8
    +3•(
    7
    8
    )2+4•(
    7
    8
    )3+…+n•(
    7
    8
    )n-1+(n+1)•(
    7
    8
    )n
    7
    8
    •Sn=2•(
    7
    8
    )2+3•(
    7
    8
    )3+4•(
    7
    8
    )4+…+n•(
    7
    8
    )n+(n+1)•(
    7
    8
    )n+1
    相减得：
    1
    8
    •Sn=2•
    7
    8
    +(
    7
    8
    )2+(
    7
    8
    )3+…+(
    7
    8
    )n-(n+1)•(
    7
    8
    )n+1    =
    7
    8
    +
    7
    8
    ×8×[1-(
    7
    8
    )n]-(n+1)•(
    7
    8
    )n+1
    =
    63
    8
    -(n+9)•(
    7
    8
    )n+1
    ∴Sn=63-8(n+9)•(
    7
    8
    )n+1    ．
    点评：求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组法．
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