Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD， 点E为侧棱PB的中点．

求证：(1) PD∥平面ACE；

(2) 平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析。

【解析】

（1）连接OE．易证PD∥OE，根据线面平行判定定理得证；

（2）要证平面PAC⊥平面PBD，即证BD⊥平面PAC

(1) 连接OE．

因为O为正方形ABCD的对角线的交点，

所以O为BD中点．

因为E为PB的中点，所以PD∥OE．

又因为OE面ACE，PD平面ACE，

所以PD∥平面ACE．

(2) 在四棱锥P－ABCD中，

因为PC⊥底面ABCD，BD面ABCD，

所以BD⊥PC．

因为O为正方形ABCD的对角线的交点，

所以BD⊥AC．

又PC、AC平面PAC，PC∩AC＝C，

所以BD⊥平面PAC．

因为BD平面PBD，

所以平面PAC⊥平面PBD．