Question

已知椭圆C：的离心率为，
直线：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直
径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点.设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得是以GH为底边的等腰三角形. 如果存在，求出实数的取值范围，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ).
（Ⅱ）存在满足题意的点（m,0）且实数的取值范围为：.

解析试题分析：(Ⅰ)利用离心率公式，得到，利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得到，得到，从而得到椭圆C的方程.（Ⅱ）通过假设的方程为（），与椭圆方程联立，应用韦达定理确定交点坐标关系，利用“向量法”得到. 将表示成应用导数或均值定理确定的范围.
试题解析：(Ⅰ)， 2分
∵直线：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，
∴，解得，则a²="4." 4分
故所求椭圆C的方程为. 5分
（Ⅱ）在轴上存在点，使得是以GH为底边的等腰三角形.  6分
理由如下：
设的方程为（），
由
因为直线与椭圆C有两个交点，所以
所以，又因为，所以.
设，，则.     7分
.
=
.
由于等腰三角形中线与底边互相垂直，则.    8分
所以.
故.
即
因为，所以.所以.

设，当时，，
所以函数在上单调递增，所以
，    10分
所以  11分
（若学生用基本不等式求解无证明扣1分）
又因为，所以.  所以，.
故存在满足题意的点（m,0）且实数的取值范围为：.    12分
考点：1、椭圆的几何性质，2、直线与椭圆的位置关系，3、平面向量的坐标运算.