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    已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆 上任意一点，且的最小值为.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点，当为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.

     

    【答案】

    （1）；（2）当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.

    【解析】

    试题分析：（1）由于（定值）这个条件并结合余弦定理以及的最小值为这个条件可以求出的值，并由已知条件中的值可以求出，并最终求出椭圆的方程；（2）先设出、、、中其中一个点的坐标，然后根据这四点之间的相互对称性将四边形的面积用该点的坐标进行表示，结合这一条件将面积转化为其中一个变量的二次函数，利用二次函数的求最值的思想求出四边形面积的最大值，并可以求出对应的值.

    试题解析：（1）因为P是椭圆上一点，所以.

    在△中，，由余弦定理得

    .

    因为，当且仅当时等号成立.

    因为，所以.

    因为的最小值为，所以，解得.

    又，所以.所以椭圆C的方程为.

    （2）设，则矩形ABCD的面积.

    因为，所以.

    所以.

    因为且，所以当时，取得最大值24.

    此时，.

    所以当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.

    考点：椭圆的定义、余弦定理、二次函数

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为
    1
    2
    且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作圆M．
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
    （3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆的左、右焦点分别为，其右准线上上存在点（点在 轴上方），使为等腰三角形．

    ⑴求离心率的范围；

        ⑵若椭圆上的点到两焦点的距离之和为，求的内切圆的方程．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三下学期假期检测考试理科数学试卷 题型：解答题

    已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年福建省三明市高三上学期三校联考数学理卷 题型：解答题

    （本题满分14分）     已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其中

    F2也是抛物线的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且  

    （I）求椭圆C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年云南省德宏州高三高考复习数学试卷 题型：解答题

    （本小题满分12分）

    已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为．

    （I）求椭圆的标准方程；

    （II）过点的直线与该椭圆交于M、N两点，且，求直线的方程．

     

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