Question

有一同学在研究方程x³+x²-1=0的实数解的个数时发现，将方程等价转换为后，方程的解可视为函数y=x²的图象与函数的图象交点的横坐标．结合该同学的解题启示，方程的解的个数为    个．

Answer 1

【答案】分析：先将方程等价转化，注意函数的定义域：[1，+∞），1，构造新函数 g（x）=，考查其零点区间，进而利用导数法求解．
解答：解：由题意，x≠0时，方程，可化为
定义域：[1，+∞），1，
设 g（x）=，故 x＞2时，g（x）＞0；
x=2 时，g（2）=1；g（1）=-1，故实数解仅在（1，2）内获得；
在（1，2）内，g（x）=，g'（x）=＞0，（两部分全是正的）得到g（x）只有一个零点，即方程的实数解仅有一个
当x=0时，方程成立
故答案为2
点评：本题的考点是类比推理，主要考查方程解的个数，由于是超越方程，利用了函数的单调性求解，关键是问题的等价转化．