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    已知向量
    OP
    =(2cosx+1，cos2x-sinx+1)，
    OQ
    =(cosx，-1)，定义f(x)=
    OP
    •
    OQ
    ．
    （1）求函数f（x）的单调递减区间；
    （2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的取值集合．
    分析：（1）利用向量的数量积，求出f（x）的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递减区间；
    （2）结合（1）利用正弦函数的有界性，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．
    解答：解：（1）f（x）=
    OP
    •
    OQ
    =（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）=2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1…（2分）
    =cos+sinx…（4分）
    =
    		2
    sin(x+
    π
    4
    )    …（6分）
    令2kπ+
    π
    2
    ≤x+
    π
    4
    ≤2kπ+
    3π
    2
    ，k∈Z    ，
    解得2kπ+
    π
    4
    ≤x≤2kπ+
    5π
    4
    ．
    所以，函数f(x)的单调递减区间为[2kπ+
    π
    4
    ，2kπ+
    5π
    4
    ]，k∈Z    ．…（9分）
    （2）函数f（x）的最大值是
    		2
    ，此时x+
    π
    4
    =2kπ+
    π
    2
    ，即x=2kπ+
    π
    4
    ．
    所以，函数f（x）取得最大值
    		2
    时的x的取值集合为{x|x=2kπ+
    π
    4
    ，k∈Z}    ．…（12分）
    点评：本题考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，三角函数的最值，考查学生计算能力，是中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在以下四个命题中，不正确的个数为（　　）
    （1）若
    a
    与
    b
    -
    c
    都是非零向量，则
    a
     • 
    b
    =
    a
     • 
    c
    是
    a
    ⊥(
    b
    -
    c
    )的充要条件
    （2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，
    OP
    =x
    OA
    +y
    OB
    +z
    OC
    且x+y+z=1
    （3）空间三个向量
    a
    ，
    b
    ，
    c
    ，若
    a
    ∥
    b
    ，
     b
    ∥
    c
    ，  则
    a
    ∥
    c

    （4）对于任意空间任意两个向量
    a
    ， 
    b
    ，
    a
    ∥
    b
    的充要条件是存在唯一的实数λ，使
    a
    =λ
    b
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对向量a=（a1，a2），b=（b1，b2）定义一种运算“?”：a?b=（a1，a2）?（b1，b2）=（a1b1，a2b2），已知动点P、Q分别在曲线y=sinx和y=f（x）上运动，且
    OQ
    =
    m
    ?
    OP
    +
    n
    （其中为O坐标原点），若 
    m
    =(
    1
    2
    ，3)，
    n
    =(
    π
    6
    ，0)，则y=f(x)    的最大值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义向量⊕运算：
    a
    ⊕
    b
    =
    c
    ，若
    a
    =（a1，a2），
    b
    =（b1，b2），则向量
    c
    =（a1b1，a2b2）．已知
    m
    =（
    1
    2
    ，2    ），
    n
    =（
    π
    6
    ，0    ），且点P（x，y）在函数y=cos2x的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且点P和点Q满足：
    OQ
    =
    m
    ⊕
    OP
    +
    n
    （其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（　　）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    在以下四个命题中，不正确的个数为（　　）
    （1）若
    a
    与
    b
    -
    c
    都是非零向量，则
    a
     • 
    b
    =
    a
     • 
    c
    是
    a
    ⊥(
    b
    -
    c
    )的充要条件
    （2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，
    OP
    =x
    OA
    +y
    OB
    +z
    OC
    且x+y+z=1
    （3）空间三个向量
    a
    ，
    b
    ，
    c
    ，若
    a
    ∥
    b
    ，
     b
    ∥
    c
    ，  则
    a
    ∥
    c

    （4）对于任意空间任意两个向量
    a
    ， 
    b
    ，
    a
    ∥
    b
    的充要条件是存在唯一的实数λ，使
    a
    =λ
    b
    ．
    A．1B．2C．3D．4

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