Question

在△ABC中，已知sinA：sinB=

2

：1，c²=b²+

2

bc，求 A、B、C的度数．

Answer 1

分析：利用正弦定理化简sinA：sinB=

2

：1，得到a与b的关系，再利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，将表示出的a代入，整理后表示出c²-b²，再由已知的c²=b²+

2

bc表示出c²-b²，两者相等，变形后可得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，将A的度数代入sinA：sinB=

2

：1中，求出sinB的值，再根据a大于b，得到A大于B，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而利用三角形的内角和定理求出C的度数．

解答：解：由sinA：sinB=

2

：1，利用正弦定理化简得：a：b=

2

：1，即a=

2

b，
根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即2b²=b²+c²-2bccosA，
∴c²-b²=2bccosA，
又c²=b²+

2

bc，即c²-b²=

2

bc，
∴2bccosA=

2

bc，即cosA=

2

2

，
又A为三角形的内角，∴A=45°，
∴sinB=

2

2

sinA=

1

2

，
∵b＜a，即B＜A，
∴B=30°，
∴C=180°-（A+B）=105°，
则A、B、C的度数分别为45°，30°，105°．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．