Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程．

（Ⅱ）点，在椭圆上，，是椭圆上位于直线两侧的动点．

（i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值．

（ii）当，运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）直线的斜率为定值.

【解析】

试题（Ⅰ）由题,得b=2,又,,联立计算得出即可.
（Ⅱ）（i）设，，直线的方程为,与椭圆方程联立化为,由，计算得出, ,利用根与系数的关系可得: .四边形APBQ面积,可求得面积最值.
（ii）由,则PA,PB的斜率互为相互数,可设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,直线PA的方程为:,与椭圆的方程联立化为,利用根与系数的关系、斜率计算公式即可求解.

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，

∵ 椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，

∴，即，

又∵ ，，

∴，，

故椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）（i）设，，直线的方程为，

联立，得，

由，计算得出，

∴，，

∴ ，

∴ 四边形的面积，

当时，．

（ii）∵ ，则，的斜率互为相反数，可设直线的斜率为，

则的斜率为，直线/span>的方程为：，

联立，得，

∴，

同理可得：，

∴，，

，

∴直线的斜率为定值．