Question

AB垂直于△BCD所在的平面，AC=

10

，AD=

17

，BC：BD=3：4，当△BCD的面积最大时，点A到直线CD的距离为

13

5

．

Answer 1

分析：利用线面垂直的性质可得AB⊥BC，AB⊥BD，利用勾股定理可得BC、BD、AB．当∠CBD=90°时，△BCD的面积最大，CD=

BC2+BD2

．过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，则CD⊥AE．利用等面积可得BE，再利用勾股定理可得AE．

解答：解：如图所示．设BC=3x，则BD=4x．∵AB⊥平面BCD．
∴AB⊥BC，AB⊥BD．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=

AC2-BC2

=

10-9x2

．
在Rt△ABD中，同理，AB=

17-16x2

，
∴

10-9x2

=

17-16x2

，解得x=1．
∴BC=3，BD=4，AB=1．
当∠CBD=90°时，△BCD的面积最大，CD=

BC2+BD2

=5．
过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，则CD⊥AE．
在Rt△BCD中，BE=

BC•BD

CD

=

12

5

．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BE．
∴AE=

AB2+BE2

=

1+( 12 5 )2

=

13

5

．
故答案为

13

5

．

点评：本题综合考查了线面垂直的性质、勾股定理等基础知识与基本方法，属于基础题．