Question

求下列各式中的x的值：
（1）ln（x-1）＜1     （2）(

1

3

)1-x -2＜0    （3）a2x-1＞(

1

a

)x-2，其中a＞0且a≠1．

Answer 1

分析：（1）由ln（x-1）＜1=lne，利用对数函数的单调性和特殊点以及对数函数的定义域可得

x-1＞0 x-1＜e

，由此求得x的范围．
（2）由 (

1

3

)1-x -2＜0，可得 (

1

3

)1-x＜2，即 3^x-1＜2，利用指数函数的单调性和特殊点求出x的范围．
（3）不等式即 a^2x-1＞（a）^2-x，分0＜a＜1和 a＞1两种情况，分别求得解集．

解答：解：（1）∵函数y=lnx 在其定义域内是单调增函数，故由不等式 ln（x-1）＜1=lne，可得

x-1＞0 x-1＜e

，所以 1＜x＜e+1．
（2）∵不等式 (

1

3

)1-x -2＜0，即 (

1

3

)1-x＜2，即 3^x-1＜2=3log32．
再由函数y=3^x 在R上是增函数可得，x-1＜log₃2，x＜1+log₃2．
（3）a2x-1＞(

1

a

)x-2 即 a^2x-1＞（a）^2-x．
当0＜a＜1时，由于y=a^x 在其定义域内是减函数，故由 a^2x-1＞（a）^2-x 可得 2x-1＜2-x，即x＜1．
当a＞1时，由于y=a^x 在其定义域内是增函数，故由 a^2x-1＞（a）^2-x 可得 2x-1＞2-x，即x＞1．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点、指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．