Question

已知是函数的一个极值点。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）单调增区间是,单调减区间是;

（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为 ，是函数的一个极值点，所以，

        因此.                                                                ---3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    

     ，

当时，

当时，

所以的单调增区间是，                                   ---6分

的单调减区间是.                                                 ---8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，

且当或时，

所以的极大值为，极小值为.                ---10分

因此

   

所以在的三个单调区间,

因为直线有的图象各有一个交点，当且仅当

因此，的取值范围为.                                      ---12分

考点：本小题主要考查函数、导函数等基础知识，运用导函数研究函数性质（单调性、最值），以及利用函数的单调性考查已知两函数交点各数时参数的取值范围，考查学生代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

点评：导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质方面.近年，各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题.