Question

如下图，已知△OFQ的面积为S，且·=1，

(1)若S的范围为<S<2,求向量与的夹角θ的取值范围；

(2)设||=c(c≥2),S=c,若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程.

Answer 1

(1) <θ<arctan4.

(2) 椭圆方程为.

解析:

本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.

 (1)∵·=1,∴||·||·cosθ=1.

又||·||·sin(180°－θ)=S,

∴tanθ=2S,S=.

又<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,

∴<θ<arctan4.

(2)以所在的直线为x轴，以的过O点的垂线为y轴建立直角坐标系(如下图).

∴O(0,0),F(c,0),Q(x₀,y₀).

设椭圆方程为+=1.

又·=1，S=c,

∴(c,0)·(x₀－c,y₀)=1.                                                                                             ①

·c·|y₀|=c.                                                                                                     ②

由①得c(x₀－c)=1x₀=c+.

由②得|y₀|=.

∴||==.

∵c≥2,

∴当c=2时，||_min==,

此时Q(，±)，F(2，0).

代入椭圆方程得

∴a²=10,b²=6.

∴椭圆方程为.

评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势.