Question

如图，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB

   （I）求证：AD⊥B₁D；

   （II）求证：A₁C//平面AB₁D；

   （III）求二面角B―AB₁―D的大小.

Answer 1

解法一（Ⅰ）证明：∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，

∴BB₁⊥平面ABC，

∴BD是B₁D在平面ABC上的射影

在正△ABC中，∵D是BC的中点，

∴AD⊥BD，

根据三垂线定理得，AD⊥B₁D

（Ⅱ）解：连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

∵AA₁=AB  ∴四边形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A₁C.

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D.

   （Ⅲ）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG.  ∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，  ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角

设A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，FG=?BE=

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB₁―D的大小为

解法二：

建立空间直角坐标系D―xyz，如图，  

则

证明：，

∴   ∴

即 AD⊥B₁D 

（Ⅱ）解：连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

∵

 

，

（Ⅲ）设是平面AB₁D的法向量，则，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是

设二面角B―AB₁―D的大小θ，，

∴二面角B―AB₁―D的大小为