Question

已知{a_n}是等差数列，公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）求证：S₁，S₃，S₉成等比数列；
（2）设数列bn=

nan

Sn

．是否存在正整数m，使得n＞m时，b_n＞1.99恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据{a_n}是等差数列，公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，可得d=2a₁（d≠0⇒a₁≠0），进而可证S₁，S₃，S₉成等比数列；
（2）根据（1）可表示出数列bn=

nan

Sn

． 利用，b_n＞1.99可知对于正整数m≥100时，均满足题目条件，从而可解．

解答：证明：（1）由已知得，（a₁+2d）²=a₁（a₁+12d）⇒d=2a₁（d≠0⇒a₁≠0），
由此，S₁=a₁，S₃=9a₁，S₉=81a₁⇒S₃²=S₁•S₉，命题得证．
（2）∵d=2a1⇒an=(2n-1)a1，⇒Sn=n2a1⇒bn=

nan

Sn

=2-

1

n

．
假设存在正整数m满足条件，即使得当n＞m时，2-

1

n

＞1.99，解得n＞100．∴对于正整数m≥100时，均满足题目条件，故m的最小值为100．

点评：本题以等差数列为载体，综合考查等差数列与等比数列，关键是正确利用通项公式．