Question

在直角坐标系xOy中，点M到点F₁、F₂的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使以线段PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点M到，的距离之和是4，
∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，
其方程为．（4分）
（2）将，代入曲线C的方程，整理得．①（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由方程①，得，．②（8分）
又．③（9分）
若以PQ为直径的圆过原点，则，所以x₁x₂+y₁y₂=0，（10分）
将②、③代入上式，解得．（12分）
又因k的取值应满足△＞0，即4k²-1＞0（*），将代入（*）式知符合题意．（13分）
分析：（Ⅰ）直接结合条件利用定义得M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，即可求轨迹C的方程；
（Ⅱ）先把直线方程与曲线方程联立，得到关于点P和Q坐标之间的等式，再代入以线段PQ为直径的圆过原点O的等价结论x₁x₂+y₁y₂=0即可求出k的值．
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及轨迹方程的求法．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．