Question

如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

(1)证明见解析(2)  (3)

解析:

方法一：⑴．证明：连结OC

     ………… 1分

    ，． ……… 2分

    在中，由已知可得 … 3分

而，     …………………  4分

    即  …………………  5分

    ∴平面．   ……………………………  6分

⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为

BC的中点知，

∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，…………… 8分

在中，  

是直角斜边AC上的中线，∴ ……………9分

∴，    ……………………… 10分

∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为． …………………………  11分

⑶．解：设点E到平面ACD的距离为． ，  ………………………………………………12分

    在中，,

    ,而，．

    ∴，   ∴点E到平面ACD的距离为  …14分

    方法二：⑴．同方法一．

    ⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

   

    ，    ……………   9分

   

∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．……   10分

    ⑶．解：设平面ACD的法向量为则

    ，

∴，令得是平面ACD的一个法向量．

    又 ∴点E到平面ACD的距离  ．…14分