Question

函数在时取得极小值.
（1）求实数的值；
（2）是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）．（2）满足条件的值只有一组，且．

解析试题分析：本题利用导数研究函数的最值与单调性等基础知识，是高考常考的题型，对于（1），根据极值定义解方程即可，但注意检验极大值与极小值取得条件；对于（2），由得出：然后再讨论和两种情况，设利用导数方法研究函数的单调性，再结合方程、不等式解题.
（1），
由题意知，解得或．
当时，，
易知在上为减函数，在上为增函数，符合题意；
当时，，
易知在上为增函数，在，上为减函数，不符合题意．
所以，满足条件的．
（2）因为，所以．
①若，则，因为，所以．  
设，则，
所以在上为增函数．
由于，即方程有唯一解为．② 若，则，即或．
（Ⅰ）时，，
由①可知不存在满足条件的．
时，，两式相除得．
设，
则，
在递增，在递减，由得，，
此时，矛盾．
综上所述，满足条件的值只有一组，且．
考点：利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，结合方程，不等式等.