Question

【题目】设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+ ）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（ ）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）= sin2x﹣ = sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；
由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间是[k ，k ]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k ，k ]，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA= ，
由题意知A为锐角，所以cosA= ，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得：1+ bc=b2+c2≥2bc，即bc ，且当b=c时等号成立．
因此S= bcsinA≤ ，
所以△ABC面积的最大值为
【解析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣ ，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc ，且当b=c时等号成立，从而可求 bcsinA≤ ，从而得解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用两角和与差的正弦公式和正弦函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两角和与差的正弦公式：；正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．