Question

己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求点C到平面A₁AB的距离；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C余弦值的大小．

Answer 1

解法一--几何法：
（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A₁D⊥底ABC，所以A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC₁
因为BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，所以AC₁⊥底A₁BC
（II）由（I）得AC₁⊥A₁C，所以A₁ACC₁是菱形，
所以AC=AA₁=A₁C=2，，
由，得
（III）设AC₁∩A₁C=O，作OE⊥A₁B于E，连AE，由（1）所以A₁B⊥AE，所以∠AEO为二面角平面角，
在Rt△A₁BC中，所以，所以二面角余弦
解法二--向量法：
（I）如图，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A₁D⊥平面ABC，以DE，DC，DA₁为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A₁（0，0，t），C₁（0，2，t），
，，，
由，知A₁C⊥CB，
又BA₁⊥AC₁，从而AC₁⊥平面A₁BC；
（II）由，得
设平面A₁AB的法向量为，，，所以，设z=1，则
所以点C到平面A₁AB的距离=
（III）再设平面A₁BC的法向量为，，，
所以，设z=1，则，
故=，根据法向量的方向可知二面角A-A₁B-C的余弦值大小为
分析：解法一--几何法：
（I）根据已知中∠BCA=90°得BC⊥AC，由A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，可得A₁D⊥BC，结合线面垂直判定定理得BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC₁，又由BA₁⊥AC₁，再由线面垂直的判定定理，可得AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）根据（I）的结论可得A₁ACC₁是菱形，进而根据AC=BC=2，我们可以根据，得到点C到平面A₁AB的距离；
（Ⅲ）令AC₁∩A₁C=O，作OE⊥A₁B于E，连AE，由（I）中结论可得A₁B⊥AE，故∠AEO为二面角平面角，解三角形AEO即可得到答案．
解法二--向量法：（I）取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A₁D⊥平面ABC，以DE，DC，DA₁为x，y，z轴建立空间坐标系，求出各点坐标，进而得到相应向量的坐标，利用向量垂直数量积为0，可以判断出AC₁与平面A₁BC内两条件相交直线都垂直，进而得AC₁⊥平面A₁BC；
（II）C到平面A₁AB的距离，其中平面A₁AB的法向量，求出法向量的坐标，代入即可求出答案．
（III）分别求出平面AA₁B与平面A₁BC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点面之间距离的计算，二面角的平面角，解答立体几何有几何法和向量法两种方法，前者要求熟练掌握相应的判定定理、性质定理，要求有较强的逻辑性，后者可将空间问题转化为向量问题，需要记忆大量公式和较强的计算能力．