Question

（08年平遥中学）（12分）  图（1）是一个正方形的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线。请在图（2）的正方体中将MN、PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题。

（1）求MN与PQ所成角的大小；

（2）求四面体M―NPQ的体积与正方体的体积之比；

（3）求二面角M―NQ―P的大小。

 

Answer 1

解析：（1）连结MC、NC，可得PQ//NC，

则就是异面直线MN与PQ所成的角………2分

∵ 是等边三角形   ∴

则MN与PQ所成的角等于………4分

（2）不失一般性，设正方体的棱长为1，则（立方单位）………5分

∵ （立方单位）………7分

∴ ………8分

(也可以设正方体的棱长为a)

（3）∵ PN⊥平面AQMP    ∴ 平面MPQ⊥平面NPQ

作MO⊥PQ于O，ME⊥NQ于E，连结OE，并设正方体的棱长为1，则MO⊥平面NPQ

∵ OE是ME在平面NPQ内的射影

∴ OE⊥NQ

则是二面角M―NQ―P的平面角………10分

由～，得   ∴

∵   MO⊥OE   ∴

∴

则二面角M―NQ―P的大小为………12分