Question

求证：函数f(x)=-

1

x

+1在区间（0，+∞）上是单调增函数．

Answer 1

分析：利用单调性的定义来证明函数是一个单调函数，先设出任意两个正数变量，表明它们的大小关系，对两个变量对应的函数值做差，合并同类项，通分整理，最终形式是变化为因式的积或商的形式，这样就可以根据条件判断差和零的关系，得到结论．

解答：证明：任意0＜x₁＜x₂，
∵f(x1)-f(x2)=-

1

x1

+1-(-

1

x2

+1)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴

x1-x2

x1x2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．

点评：本题考查函数单调性的证明，考查对于代数式的整理，是一个基础题，这种题目经常考到，可以作为一个解答题目的一问出现，这种题目的证法一般只有两种，一是用定义，二是用导数．