Question

要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为6米，
（1）求以矩形的一边长x表示窗户的面积y的函数；
（2）求这函数图象的顶点坐标及对称轴方程；
（3）画出这函数的图象，并求出x的允许值范围．

Answer 1

分析：（1）由于矩形的周长为定值，所以若设其长为x米，则其宽为3-x，代入矩形面积公式易得边长x表示窗户的面积y的函数；
（2）根据二次函数的性质，我们对（1）的结论进行配方，化为顶点式后，易得函数图象的顶点坐标及对称轴方程；
（3）根据函数解析式，我们可以确定函数图象的顶点、与坐标轴的交点，开口方向等，然后不难画出函数的图象，再由其长为x米，则其宽为3-x，均为正数，易得出x的允许值范围．

解答：解：（1）因为矩形周长为6米，
所以若设其长为x米，则其宽为3-x，
∴窗户的面积y=x（3-x）=-x²+3x．
（2）由y=-x²+3x，可得y=-(x-

3

2

)2+

9

4

，
故其顶点坐标为(

3

2

，

9

4

)，
对称轴方程为x=

3

2

．
（3）令x²-3x=0，
∴x₁=0，x₂=3．
故图象与x轴相交于点（0，0），（3，0），其图象如图，
根据问题的实际意义，必须y＞0，
所以x的允许值范围为：0＜x＜3．

点评：点评：在不等式的实际应用中，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑，如本题中，窗口的长为x米，则其宽为3-x，均为正数，故x的允许值范围为：0＜x＜3．