Question

【题目】已知含有个元素的正整数集（， ）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．

（Ⅰ）写出， 的值；

（Ⅱ）证明：“， ，…， 成等差数列”的充要条件是“”；

（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） ．

【解析】试题分析: （Ⅰ）由为正整数,则， .， ,即可求得， . （Ⅱ）先证必要性：由， ，…， 成等差数列，故，由等差数列的求和公式得: ；再证充分性：由，故（， ，…， ），故， ，…， 为等差数列．（Ⅲ）先证明（， ，…， ）,因此，即，所以．由集合的性质,分类,即可求得当取最小值11时， 的最大值为．

试题解析:（Ⅰ）， .

（Ⅱ）先证必要性：

因为， ，又， ，…， 成等差数列，故，所以；

再证充分性：

因为， ， ，…， 为正整数数列，故有

， ， ， ，…， ，

所以，

又，故（， ，…， ），故， ，…， 为等差数列．

（Ⅲ）先证明（， ，…， ）．

假设存在，且为最小的正整数．

依题意，则 ，，又因为，

故当时， 不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．

故假设不成立，即（， ，…， ）成立．

因此，

即，所以．　

因为，则，

若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，

故，即.

此时可构造集合.

因为当时， 可以等于集合中若干个元素的和；

故当时， 可以等于集合中若干不同元素的和；

……

故当时， 可以等于集合中若干不同元素的和；

故当时， 可以等于集合中若干不同元素的和；

故当时， 可以等于集合中若干不同元素的和，

所以集合满足题设，

所以当取最小值11时， 的最大值为．