Question

已知双曲线x2-

y2

3

=1的左、右焦点为F₁、F₂，过点F₂的直线L与其右支相交于M、N两点（点M在x轴的上方），则点M到直线y=

3

x的距离d的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据双曲线的性质可得：当直线L的斜与直线y=

3

x的斜率很接近时，则点M就接近于直线y=

3

x；当直线L的斜与直线y=-

3

x的斜率很接近时，则点M就远离直线
y=

3

x，进而利用极限的思想求出范围即可．

解答：解：由题意可得：双曲线x2-

y2

3

=1的渐近线方程为y=±

3

x，F₂（2，0），
根据双曲线的性质可得：
当直线L的斜与直线y=

3

x的斜率很接近时，则点M就接近于直线y=

3

x，即此时点M到直线y=

3

x的距离d接近于0．
直线L的斜与直线y=-

3

x的斜率很接近时，则点M就远离直线y=

3

x，即此时点M到直线y=

3

x的距离d接近于

3

2

．
故答案为：（0，

3

4

）．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线的简单性质，以及熟练利用极限思想解决问题．