Question

（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.

（Ⅰ）求二面角的余弦值；

（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。

Answer 1

解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,

又因为平面平面.

如图建立空间直角坐标系A-xyz

则（2，2，），C（10，8，0），

F（4，0，0），D（10，0，0）.   

故=（-2，2，2），=（6，0，0）.

设=（x,y,z）为平面的一个法向量，

       -2x+2y+2z=0

所以

       6x=0.

取，则。

又平面的一个法向量，

故。

所以二面角的余弦值为

（Ⅱ）解：设则，

     因为翻折后，与重合，所以，

     故， ，得，

     经检验，此时点在线段上，

所以。

方法二：

（Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。

      因为=及是的中点，

所以

又因为平面平面，

所以平面,

又平面,

故，

又因为、是、的中点，

易知∥，

所以，

于是面，

所以为二面角的平面角，

在中，=，=2，=

所以.

故二面角的余弦值为。

（Ⅱ）解：设,

         因为翻折后，与重合，

所以，

          而，

 

得，

经检验，此时点在线段上，

所以。