Question

椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）如果点A在圆x²+y²=c²（c为椭圆的半焦距）上，且|F₁A|=c，求椭圆的离心率；
（2）若函数，（m＞0且m≠1）的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点A在圆x²+y²=c²上，
∴△AF₁F₂为一直角三角形，
∵
由椭圆的定义知：|AF₁|+|AF₂|=2a，∴c+2c=2a
∴e===-1
（2）∵函数x的图象恒过点
∴，
点F₁（-1，0），F₂（1，0），
①若AB⊥x轴，则A，
∴
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）
由消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0（*）
∵△=8k²+8＞0，∴方程（*）有两个不同的实根．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程（*）的两个根
，
=
∵
，
由①②知．
分析：（1）根据题意判断出∴△AF₁F₂为一直角三角形，利用勾股定理求得|F₂A|利用椭圆的定义求得|AF₁|+|AF₂|=2a，进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
（2）利用函数的图象恒过定点，求得a和b，则c可求得，求得椭圆的两焦点，先看AB⊥x轴时，求得A，B的坐标，进而求得的坐标，则可求得；再看AB与x轴不垂直，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，进而表示出x₁+x₂和x₁x₂，的坐标进而求得的表达式，利用k的范围确定的范围．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及了椭圆的基本性质，向量的运算，考查了知识的综合运用和基本的运算能力．