Question

已知抛物线C₁：y²=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C₁的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为

2

，过抛物线C₁的焦点F作倾斜角为

π

4

的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C₁于一点Q（点Q在x轴下方）．
（1）求点P和Q的坐标；
（2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程，进而根据题意求得a和m，a和n的关系，进而根据椭圆方程与直线l联立求得交点坐标．
（2）将Q点沿直线l向上移动到Q′点，使|QQ′|=4a，则可求出Q′点的坐标，设双曲线方程，把P，Q′代入双曲线方程，求得s和r，进而双曲线方程可得．

解答：解：（1）由题意可知F（a，0），设椭圆方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）．
由

m

n

=

2

，m²-n²=a²，
解得m²=2a²，n²=a²，
∴椭圆方程为

x2

2a2

+

y2

a2

=1，直线l：y=x-a．
可求出P（

4

3

a，

1

3

a）．
y=x-a，
可求出Q（（3-2

2

）a，（2-2

2

）a．
（2）将Q点沿直线l向上移动到Q′点，
使|QQ′|=4a，则可求出Q′点的坐标为（3a，2a）．
设双曲线方程为

x2

s

-

y2

r

=1（s•r＞0）．
由于P、Q′在双曲线上，则有

(3a)2

s

-

(2a)2

r

=1，

( 4 3 a)2

s

-

( 1 3 a)2

r

=1．
解得

1

s

=

7

11a2

，

1

r

=

13

11a2

．
∴双曲线方程为

7

11a2

x²-

13

11a2

y²=1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对圆锥曲线基本知识的综合掌握．