Question

设f1(x)=

2

1+x

，定义fn+1(x)=f1[fn(x)]，an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，n∈N*．
（1）写出a_n+1与a_n的关系式；
（2）数列{a_n}的通项公式；
（3）若T_2n=2a₂+4a₄+6a₆+…+2na_2n，求T_2n．
（4）（只限成志班学生做）若

Q

n

=

4n2+n

4n2+4n+1

，n∈N+，试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用条件进行转化：an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

1

2

•

1-f(0)

2+f(0)

，从而得出a_n+1与a_n的关系式；
（2）由（1）得：{a_n}成等比数列，首项为a₁，根据等比数列的通项公式写出数列{a_n}的通项公式即可；
（3）由（2）得2na2n=2n

1

4

(-

1

2

)n-1=n×

1

2

×(-

1

2

)2n-1对于数列的和：T_2n=2a₂+4a₄+6a₆+…+2na_2n利用错项相减，得T2n=

3n+4

9

(

1

4

)n-

4

9

（4）由于2na_2n＜0，得出T_2n＜0，而Q_n＞0，从而可比较9T_2n和Q_n的大小．

解答：解：（1）an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+f(0) -1

2 1+f(0) +2

=

4-f(0)

4+2f(0)

=

1

2

•

1-f(0)

2+f(0)

∴an+1=-

1

2

an；
（2）∵f(0)=

2

1

．
由（1）得：{a_n}成等比数列，首项为a₁=

f(0)-1

f(0)+2

=

1

4

∴an=

1

4

(-

1

2

)n-1
（3）2na2n=2n

1

4

(-

1

2

)n-1=n×

1

2

×(-

1

2

)2n-1
T_2n=2a₂+4a₄+6a₆+…+2na_2n
∴T2n=-(

1

4

)1-2(

1

4

)2-3(

1

4

)3-…-n(

1

4

)n
用错项相减，得T2n=

3n+4

9

(

1

4

)n-

4

9

（4）∵2na_2n＜0，∴T_2n＜0
而Q_n＞0，
∴必有9T_2n＜Q_n．

点评：本小题主要考查等比数列的通项公式、数列递推式、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．